Sabtu, 05 Desember 2015
ARTI KALIMAT
- Arti kalimat = nilai kebenaran.
- Setiap kalimat pada logika proposisi memiliki salah satu dari nilai {true, false}.
- Arti kalimat kompleks yang terdiri atas variabel merupakan fungsi dari nilai kebenaran variabel tersebut
- Perlu tahu nilai kebenaran masing-masing variabel
- Perlu aturan untuk menghitung fungsi tersebut
- Logika hanya berhubungan dengan bentuk (form) logis dari argumen-argumen, serta penarikan kesimpulan tentang validitas dari argumen tersebut.
- Contoh 1:
– Badu
seorang manusia
– Setiap
manusia memiliki 2 mata
– Maka
Badu memiliki 2 mata
•
- Contoh 2:
– Hewan
meiliki 2 mata
– Manusia
memiliki 2 mata
– Maka
hewan sama dengan manusia
Interpretasi
Interpretasi pada logika proposisi = pemberian nilai kebenaran pada semua variabel.
Interpretasi pada logika proposisi = pemberian nilai kebenaran pada semua variabel.
Contoh
: P Ú ØQ
I1
: P true dan Q true
I2
: P true dan Q false
I3
: P false dan Q false
I4
: P false dan Q true
Aturan Semantik
kalimat true bernilai true
untuk semua interpretasi.
kalimat false bernilai false untuk semua interpretasi.
kalimat P,Q,R,… bernilai sesuai interpretasinya.
not F bernilai true jika F false dan bernilai false jika F true.
F Ù G bernilai true jika F dan G keduanya true dan bernilai false jika tidak demikian.
F Ú G bernilai false jika F dan G keduanya false dan bernilai true jika tidak demikian.
F Þ G bernilai false jika F true dan G false dan bernilai true jika tidak demikian.
kalimat false bernilai false untuk semua interpretasi.
kalimat P,Q,R,… bernilai sesuai interpretasinya.
not F bernilai true jika F false dan bernilai false jika F true.
F Ù G bernilai true jika F dan G keduanya true dan bernilai false jika tidak demikian.
F Ú G bernilai false jika F dan G keduanya false dan bernilai true jika tidak demikian.
F Þ G bernilai false jika F true dan G false dan bernilai true jika tidak demikian.
Tabel Kebenaran
Dengan aturan semantik dapat ditentukan nilai kebenaran suatu kalimat kompleks untuk semua interpretasi yang mungkin.
Biasanya ditabelkan dan disebut tabel kebenaran.
Jika terdapat n variabel, maka terdapat 2n baris tabel kebenaran.
Dengan aturan semantik dapat ditentukan nilai kebenaran suatu kalimat kompleks untuk semua interpretasi yang mungkin.
Biasanya ditabelkan dan disebut tabel kebenaran.
Jika terdapat n variabel, maka terdapat 2n baris tabel kebenaran.
Operator / Logical Connectives
Sebuah operator atau penghubung menggabungkan
satu atau lebih ekspresi operand ke dalam ekspresi yang lebih
besar. (seperti tanda “+” di ekspresi numerik.).
Operator Uner bekerja pada satu operand (contoh − 3); Operator biner bekerja pada 2 operand (contoh 3 ´ 4). Operator Proposisi atau Boolean bekerja pada proposisi-proposisi atau nilai kebenaran, bukan pada suatu angka.
Operator Uner bekerja pada satu operand (contoh − 3); Operator biner bekerja pada 2 operand (contoh 3 ´ 4). Operator Proposisi atau Boolean bekerja pada proposisi-proposisi atau nilai kebenaran, bukan pada suatu angka.
Operator / Boolean
Umum
Nama Resmi
|
Istilah
|
Arity
|
Simbol
|
|||||||||||||||
Operator
Negasi
|
NOT
|
Unary
|
¬
|
|||||||||||||||
Operator Konjungsi
|
AND
|
Binary
|
Ù
|
|||||||||||||||
Operator
Disjungsi
|
OR
|
Binary
|
Ú
|
|||||||||||||||
Operator
Exclusive-OR
|
XOR
|
Binary
|
Å
|
|||||||||||||||
Operator
Implikasi
|
IMPLIES
(jika-maka)
|
Binary
|
®
|
|||||||||||||||
Operator
Biimplikasi (Biconditional)
|
IFF
(jika dan hanya jika)
|
Binary
|
↔
|
|||||||||||||||
Operator Negasi
Operator negasi uner
“¬” (NOT) mengubah suatu proposisi menjadi proposisi lain yang bertolak
belakang nilai kebenarannya.
Contoh: Jika p = Hari ini hujan
maka ¬p = Tidak benar hari ini hujan
Tabel kebenaran untuk NOT:
Contoh: Jika p = Hari ini hujan
maka ¬p = Tidak benar hari ini hujan
Tabel kebenaran untuk NOT:
p
|
¬p
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T = True; F = False
º Diartikan “didefinisikan sebagai”.
Operator Konjungsi
Operator konjungsi biner “Ù” (AND)
menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika konjungsinya.
Cth: p = Badu menabrak pagar rumah q
= Badu menginjak-injak pagar rumah.
pÙq = Badu
menabrak pagar rumah dan menginjak-injaknya
Tabel Kebenaran Konjungsi
Perhatikan bahwa
Konjungsi p1 Ù p2 Ù … Ù pn dari n proposisi
akan memiliki 2n baris pada tabelnya.
Operasi ¬ dan Ù saja
cukup untuk mengekspresikan semua tabel kebenaran Boolean
p
|
q
|
pÙq
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
Operator Disjungsi
Operator biner disjungsi “V” (OR) menggabungkan dua
proposisi untuk membentuk logika disjungsinya.
p=“Saya memilih pizza untuk dinner”
q=“Saya memilih fried chicken untuk dinner”
p v q=“Saya memilih pizza atau fried chicken untuk
dinner.”
Tabel Kebenaran
Disjungsi
Perhatikan bahwa p
v q berarti p benar, atau q benar, atau
keduanya benar!
Jadi, operasi ini juga
disebut inclusive or, karena mencakup kemungkinan
bahwa both p dan q keduanya benar.
“ ¬ ” dan “ v ” keduanya membentuk
opearator universal.
p
|
q
|
pVq
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
Proposi Bertingkat
Gunakan tanda kurung
untuk mengelompokkan sub-ekspresi: “Saya baru saja bertemu
teman lama, dan anaknya sudah dua atau tiga.” = f v (g ^ s).
– (f ^ g) v s artinya akan berbeda.
– f ^g v s artinya akan ambigu.
Menurut perjanjian, “¬” presedensinya lebih tinggi dari “^” dan “v”.
Menurut perjanjian, “¬” presedensinya lebih tinggi dari “^” dan “v”.
– ¬s ^ f artinya (¬s) ^ f , bukan ¬
(s ^ f)
CONTOH:
Misalkan
P = “Tadi malam hujan”,
q= “Tukang siram tanaman datang tadi malam,”.
r =“Pagi ini kebunnya basah.”
Terjemahkan proposisi
berikut dalam bahasa Indonesia:
¬p = “Tadi
malam tidak hujan.”
r ^ ¬p = “Pagi
ini kebunnya basah dan tadi malam tidak hujan.”
“Pagi ini kebun tidak
basah, atau tadi malam hujan, atau tukang siram tanaman datang tadi malam.”
Operator Exclusive OR
Operator biner exclusive-or “Å” (XOR) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk
logika “exclusive or”-nya
p = “Saya akan mendapat nilai A di kuliah
ini,”
q = “Saya akan drop kuliah
ini,”
p Å q =
“Saya akan mendapat nilai A atau saya akan drop kuliah ini (tapi tidak
dua-duanya!)”
Tabel Kebenaran Exclusive OR
• Perhatikan
bahwa p Å q berarti p benar, atau q
benar tapi tidak dua- duanya benar!
• Disebut exclusive
or,karena tidak memungkinkan p dan q keduanya
benar
• “¬”
dan “Å” tidak membentuk operator universal
p
|
q
|
p Å
q
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
Bahasa Alami sering Ambigu
• Perhatikan bahwa kata
“atau” dapat bermakna ambigu berkenaan dengan kasus keduanya
benar.
• “Tia adalah penulis
atau Tia adalah aktris.” -
• “Tia perempuan atau Tia
laki-laki” –
• Perlu diketahui
konteks pembicaraannya!
p
|
q
|
p "or" q
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
?
|
Operator Implikasi
• Implikasi p ® q menyatakan
bahwa p mengimplikasikan q.
• p disebut antecedent dan q disebut consequent
• Jika p benar,
maka q benar; tapi jika p tidak
benar, maka q bisa benar - bisa tidak benar
• Contoh :
p = Nilai ujian akhir
anda 80 atau lebih
q = Anda mendapat nilai
A
p ® q = “Jika nilai ujian
akhir anda 80 atau lebih, maka anda mendapat nilai A”
Implikasi p ® q
(a) Jika p, maka q (if
p, then q)
(b) Jika p, q (if
p, q)
(c) p mengakibatkan q (p
implies q)
(d) q jika p (q
if p)
(e) p hanya jika q (p
only if q)
(f) p syarat cukup agar q (p
is sufficient for q)
(g) q syarat perlu bagi p (q
is necessary for p)
(i) q bilamana p (q
whenever p)
Tabel Kebenaran
Implikasi
• p ® q salah hanya
jika p benar tapi q tidak benar
• p ® q tidak mengatakan bahwa
hanya p yang menyebabkan q!
• p ® q tidak mensyaratkan
bahwa p atau q harus
benar!
• Cth. “(1=0) ® kucing bisa
terbang” BENAR!
p
|
q
|
p ® q
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
Contoh Implikasi
• “Jika saya rajin
kuliah hari ini, matahari akan bersinar esok hari” True / False?
• “Jika hari ini Kamis,
maka saya adalah seekor pinguin.” True / False?
• “Jika 1+1=6, maka SBY
adalah presiden.” True / False?
• “Jika bulan dibuat
dari keju, maka saya lebih kaya dari Bill Gates.” True or False?
Converse, Inverse & Contrapositive. Beberapa terminologi
dalam implikasi p ® q:
• Converse-nya
adalah: q ® p.
• Inverse-nya
adalah: ¬p ® ¬q.
• Contrapositive-nya adalah: ¬q ® ¬ p.
• Salah satu dari ketiga terminologi di atas memiliki makna yang
sama (memiliki tabel kebenaran yang sama) dengan p ® q. Bisa Anda sebutkan yang
mana?
Bagaimana Menunjukkannya?
Membuktikan eqivalensi
antara p ® q dan
contrapositive-nya dengan tabel kebenaran:
p
|
q
|
Øq
|
Øp
|
p®q
|
Øq ®Øp
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
Operator Biimplikasi
• Operator
biimplikasi p ↔ q menyatakan bahwa p benar jika
dan hanya jika (jika) q benar
• p = “SBY menang pada
pemilu 2004”
• q = “SBY
akan menjadi presiden mulai tahun 2004.”
• p ↔ q = “Jika dan hanya jika
SBY menang pada pemilu 2004 maka dia akan menjadi presiden mulai tahun 2004.”
Biimplikasi p ↔ q
(a) p jika dan hanya jika q. (p if and only
if q)
(b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.
(p is necessary and sufficient for q)
(c) Jika p maka q, dan sebaliknya. (if
p then q, and conversely)
(d) p jikka q (p iff q)
Tabel Kebenaran
Biimplikasi
• p ↔ q benar jika p dan q
memiliki nilai kebenaran yang sama.
• Perhatikan bahwa
tabelnya adalah kebalikan dari tabel exclusive
or Å!
p ↔ q
artinya ¬(p↔ q)
p
|
q
|
p ↔ q
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
