Sabtu, 05 Desember 2015
Logika Matematika adalah sebuah cabang
matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika
matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil
kesimpulan.
Hal paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari
logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan
mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan dibahas kali ini
adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi ,
biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat
berkuantor, serta penarikan kesimpulan.
Logika matematika
Pernyataan
Pernyataan di dalam logika
matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung nilai-nilai yang
dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut tidak bisa
memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa kita
nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah
kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika
matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertuutp dan terbuka.
Pernyataan tertututp adalah
kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai benar-salahnya.
Pernyataan terbuka adalah
kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai benar salahnya.
Agar lebih mudah memahaminya,
perhatikan contoh berikut ini:
·
30 + 5 = 35 (sudah pasti
benar/pernyataan tertutup)
·
30 x 5 = 200 (sudah pasti
salah/pernyataan tertutup)
·
Buah maja rasanya pahit (harus
dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
·
Jarak antara anyer dan jakarta
adalah jauh (pernyataan relatif)
Negasi / pernyataan ingkaran
Negasi atau biasa disebut dengan
ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan, negasi biasanya dibentuk
dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar bahwa...' di depan pernyataan
yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang ada di bawah ini:
Pernyataan A :
Becak memiliki roda tiga buah.
Negasi dari pernyataan A :
Tidak benar bahwa becak
memiliki roda tiga buah.
Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk di dalam logika
matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi
berikut masing-masing penjelasannya:
Konjungsi
Di dalam logika matematika, dua
buah pernyataan dapat digabungkan dengan menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan
sebagai ‘dan’ .
Tabel berikut ini menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:
p
|
q
|
P
^ q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika p
benar dan q benar maka p dan q adalah benar
|
B
|
S
|
S
|
Jika p
benar dan q salah maka p dan q adalah salah
|
S
|
B
|
S
|
Jika p
salah dan q benar maka p dan q adalah salah
|
S
|
S
|
S
|
Jika p
salah dan q salah maka p dan q adalah salah
|
Dari table di atas dapat diambil
kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi, kedua pernyataan haruslah benar
agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan dianggap salah.
Disjungsi
Selain menggunakan 'dan', dua
buah pernyataan di dalam logika matematika dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk
memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:
p
|
q
|
P
v q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika p
benar dan q benar maka p atau q adalah benar
|
B
|
S
|
B
|
Jika p
benar dan q salah maka p atau q adalah benar
|
S
|
B
|
B
|
Jika p
salah dan q benar maka p atau q adalah benar
|
S
|
S
|
S
|
Jika p
salah dan q salah maka p atau q adalah salah
|
Karena di dalam disjungsi
menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau kedua pernyataan
memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar. Pernyataan
akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah.
Implikasi
Implikasi merupakan logika
matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan dihubungkan dengan
menggunakan simbol ( => ) dengan
makna 'jika p
... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel
berikut:
p
|
q
|
p => q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
Jika
awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
|
B
|
S
|
S
|
Jika
awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
|
S
|
B
|
B
|
Jika
awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
|
S
|
S
|
B
|
Jika
awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR
|
Biimplikasi
Di dalam biimplikasi, pernyataan
akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai sama-sama benar atau sama-sama
salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan
dengan symbol (ó) dengan makna ‘ p ….. Jika dan hanya jika q
…..'
p
|
q
|
p ó q
|
Logika
matematika
|
B
|
B
|
B
|
P adalah
BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
|
B
|
S
|
S
|
P adalah
BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
|
S
|
B
|
B
|
P adalah
SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
|
S
|
S
|
B
|
P adalah
SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)
|
Ekuivalensi pernyataan majemuk
11 ~(p ^ q )= ~ p Ú ~q
22 ~(p Ú q )= ~ p Ú ~q
33 p ^ (q Ú r
)= (p ^ q ) v (p ^ r)
44 p ^ (q ^ r )= (p ^ q ) ^ (p
^ r)
55 p ® q = p Ú ~q
66 ~(p®q)= p^ ~q
77 p ↔q =
(p®q)^(q
®p)
= (~p Ú q)^
(~q Ú p)
88. ~ p ↔ q =
(p ^ q) v (q^ ~p)
Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konsep ini dapat diterapkan
dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan implikasi memiliki sifat
Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada gambar bawah ini:
Jika di ketahui implikasi p ® q ,
maka :
Konversnya adalah q ® p
Inversnya adalah ~ p® ~q
Kontraposisinya
adalah ~q ®~p
Kuantor pernyataan
Pernyataan berkuantor adalah
bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep kuantitas. Ada dua jenis
kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau
semua.
Contoh : v x R, x > 0 dibaca untuk setiap x anggota
bilangan eiil maka berlaku x > 0.
Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada,
sebagian, beberapa, atau terdapat.
Contoh : v x R, x+5>1 dibaca terdapat x anggota
bilangan riil dimana x+5>1.
Ingkaran dari pernyataan
berkuantor
Pernyataan berkuantor juga
memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor universal adalah kuantor
eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada contoh di bawah ini:
Contoh
:
P :
beberapa siswa SMA rajin belajar.
~p :
semua siswa SMA tidak rajin belajar.
Penarikan Kesimpulan
Kesimpulan dapat dilakukan
dengan menelaah premis atau pernyataan-pernyataan yang kebenarannya telah
dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di dalam logika
matematika berikut ini:
Modus ponens
Premis 1 : p ® q
Permis 2 : p
Kesimpulan : q
Arti modus ponens adalah “ Jika diketahui p ® q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q”.
Sebagai contoh :
Premis 1 : jika bapak datang maka adik akan senang
Premis 2 : bapak datang______________________
Kesimpulan : adik senang
Modus Tollens
Premis
1 : p ® q
Premis
2 : ~ q
Kesimpulan
: ~ p
Modus
Tollens berarti “ jika diketahui p ® q
dan ~q, maka bisa ditarik kesimpulan ~p”
Sebagai
conteh:
Premis
1 : jika hujan, maka adik memakai paying
Premis
2 : adik tidak memakai payung
________
Kesimpulan
: hari tidak hujan.
Silogisme
Premis 1 : p ® q
Premis 2 : q ® r ( silogisme)
Kesimpulan: p ® r
Silogisme berarti “jika
di ketahui p ® q dan q ® r, maka bisa ditarik kesimpulan p ® r”.
Sebagai contoh :
Premis 1 : jika harga
BBM naik, maka harga bahan pokok naik.
Premis 2 : jika harga
bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.
Kesimpulan : Jika harga
BBM naik, maka semua orang tidak senang.
